FUNCION CUADRATICA

También llamada función de segundo grado, es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:

Gráficas de funciones cuadráticas.

 

donde a, b y c son constantes y a es distinto de 0.
La representación gráfica en el plano XY haciendo:

esto es:

es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.

La función cuadrática tiene la forma general: f (x) = ax2 + bx + c. El caso más simple es cuando a = 1, b = 0, c = 0 es decir, f (x) = x2 que representa una parábola que pasa por el origen (0, 0). Su gráfica es la siguiente.

El vértice de coordenadas (0, 0) abriendose hacia arriba de manera simétrica al eje y, con dominio Df = (􀀀¥, ¥) donde el "(" indica un intervalo abierto, es decir que el valor no se incluye en él, y rango Rf = [0, ¥), donde el "[" indica que el intervalo es cerrado, es decir que el cero está incluido. Retomando la forma general, vemos que en esta función se pueden identificar algunas características generales conociendo algunos parámetros, como por ejemplo el valor del coeficiente principal (es decir el de la variable cuadrática) y el discriminante b2 􀀀 4ac.

y el discriminante que nos permite saber cuántas veces la gráfica de la parábola cruza el eje x. Observemos la gráfica anterior donde la parábola corta al eje x en un solo punto “el origen”; pero cuando los valores de b y c son distintos de cero, las coordenadas del vértice de la parábola se pueden ubicar en cualquier parte del plano. Y dependiendo de su posición es que pueden o no cortar al eje x. Una manera de saber si la gráfica de la parábola intersecta al eje x o no, es con el uso del discriminante.

En el primer caso si el valor obtenido del discriminante es racional; se puede factorizar con los métodos estudiados en la unidad anterior, en caso contrario se tiene que usar la fórmula general. Por último para hacer una buena gráfica de una función cuadrática (parábola) es conveniente conocer su vértice, este se encuentra en V = (h,k) y se obtiene de la siguiente forma: h = -b/ 2a k = f (h) = a(h)2 + b(h) + c, o sea que para encontrar k, se sustituye el valor de h en la función original.

FUNCION LINEAL

puede referirse a dos conceptos diferentes.

En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.

Esta función se puede escribir como

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Cuando cambiamos m modificamos la inclinación de la recta y cuando cambiamos b desplazamos la línea arriba o abajo.

En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.

Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma f(x) = mx mientras que llaman función afín a la que tiene la forma f(x) = mx + b cuando b es distinto de cero..

TAREA :

REPRESENTACION GRAFICA DE LAS FUNCIONES

Lo que llamamos estudio analítico de una función, consiste en encontrar su dominio, hallar sus raíces, determinar dónde crece y dónde decrece, determinar sus máximos y mínimos relativos, conocer su concavidad, establecer sus puntos singulares.
Todas estas propiedades nos permiten hacer una representación gráfica de la función muy aproximada a la real.

Es tan importante este concepto que practicamente podríamos decir que no hay un lugar en la vida moderna donde no esté presente. Las compañías de seguros, las empresas automotrices, y casi toda la economía actual se maneja en respuesta a las funciones que rigen su operación. En el área de ingeniería también es de particular importancia en la mayoría de las aplicaciones.

Función Lineal

La función lineal es de la forma f (x) = mx + b, donde m representa la pendiente (inclinación) y b representa la intersección de la recta con el eje y (cuando el valor de x = 0 ) se le llama ordenada en el origen. La pendiente m puede ser positiva (sube), negativa (baja) o cero (recta horizontal).
Cuando b = 0 tenemos la funcion f (x) = mx que nos representa una función que pasa por el origen (0.0).
La pendiente viene a ser intuitivamente “lo que sube o baja la recta entre lo que avanza”

COMPLETAR EL CUADRADO

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto  cuando conocemos los primeros dos.   Esto es, trinomios de la forma: 

x² + bx + ?

Regla para hallar el último término de x² + bx + ?:  El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio.   Esto es;  el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son

 x² + bx  es :

Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado.  Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

1)  x² + 6x + 7 = 0

2)  x² – 10x + 5 = 0

3)  2x² - 3x - 4 = 0

FORMULA GENERAL

La fórmula general es un procedimiento que se usa para factorizar polinomios de la forma , con , y constantes reales y .

Operaciones con fracción

1.-

2.-

3.-

4.-






5.-

Factorización

Es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados  (a - b)(a + b).

Si un polinomio se escribe como el producto de otros polinomios, cada polinomio del
producto es un factor del polinomio original.
Por ejemplo: Como x2 - 9 = (x + 3)(x - 3), entonces (x + 3) y (x - 3) son factores de
x2 - 9.
La factorización es de gran importancia en numerosas aplicaciones matemáticas, ya que
permite reducir el estudio de expresiones complicadas al estudio de expresiones más simples.
Se pueden determinar propiedades importantes del polinomio x2 - 9, haciendo un
análisis de los factores (x + 3) y (x - 3)

Factorización por Factor Común


La explicación es muy simple, factorizar por Factor Común es aplicar la Ley Distributiva
(Dilema del Mosquetero / 2a. opción) a la inversa, esto es:

Ejercicios

Ejercicios Factorizacion  comun.


1.-

2.-

3.-

Factorización por Productos Notables

Factorización de un trinomio cuadrático

Empezando también con la Ley Distributiva (Dilema del Mosquetero) podemos efectuar
el siguiente producto:

Si observamos con cuidado, vemos que el coeficiente del término cuadrático es el producto
de a y c, que son los coeficientes de x en los factores, el término independiente de x es
el producto de b y d, que son los términos independientes de x en los factores; tenemos entonces
dos pares de números y el coeficiente de x es la suma de los resultados al multiplicar
los primeros por los segundos. Esto es:

O sea que haciendo el producto cruzado de a con c, y de b con d se obtiene el coeficiente de x. Ejemplos: